בגרות חורף 2026 – תיבה, מישורים וזווית בין ישריםוקטורים 572 · שיעור 41
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA'B'C'D'.
נתון כי משוואת המישור A'B'C'D' היא x + 4y − 8z − 142 = 0, וכי B(0 , 7 , 6).
א. מצאו את אורך המקצוע BB'.
נתון כי הצגה פרמטרית של הישר AB היא x = (0 , 7 , 6) + t(0 , 2 , 1). אורך המקצוע AB הוא 5√5, ושיעור ה־y של הקודקוד A הוא שלילי.
ב. מצאו את שיעורי הקודקוד A.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. מצאו את משוואת המישור ABB'A'.
נתונה נקודה M(k , 1 , 3). k הוא פרמטר חיובי. נתון כי גודל הזווית שבין הישר AB ובין הישר AM הוא 60 מעלות.
ד. מצאו את הערך של k (תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם).
נתון כי הנקודה M נמצאת על המישור DCC'D'.
ה. מצאו את נפח התיבה.
סעיף א – אורך המקצוע BB'
בתיבה המקצוע BB' מאונך לפאה A'B'C'D', והנקודה B' נמצאת עליה. לכן אורך BB' הוא המרחק של B מהמישור A'B'C'D':
BB' = |x0 + 4y0 − 8z0 − 142|√12 + 42 + (−8)2
📐 מרחק נקודה ממישור
נציב B(0 , 7 , 6) :
BB' = |0 + 4 · 7 − 8 · 6 − 142|√12 + 42 + (−8)2
BB' = |28 − 48 − 142|√1 + 16 + 64
BB' = |−162|√81 = 1629 = 18
📐 מרחק נקודה ממישור
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|√A2 + B2 + C2
סעיף א – אורך המקצוע BB' · המשך
BB' = |−162|√81 = 1629 = 18
✅ פתרון סופי: BB' = 18
סעיף ב – שיעורי הקודקוד A
הנקודה A על הישר AB, ולכן לאיזשהו t:
A = (0 , 7 + 2t , 6 + t)
הווקטור מ־B ל־A:
BA = t(0 , 2 , 1)
|BA| = |t| · √0 + 4 + 1
📐 אורך וקטור
|BA| = |t|√5
📐 אורך וקטור
|u| = √x2 + y2 + z2
סעיף ב – שיעורי הקודקוד A · המשך
|BA| = |t|√5
נציב |BA| = 5√5 (נתון):
|t|√5 = 5√5
|t| = 5 ⇒ t = 5
או
t = −5
סעיף ב – שיעורי הקודקוד A · המשך
t = −5
שיעור ה־y של A הוא:
yA = 7 + 2t
נציב t = 5 ו־t = −5 , ונבדוק מתי הוא שלילי:
t = 5: yA = 7 + 2 · 5 = 17 > 0
t = −5: yA = 7 + 2 · (−5) = −3 < 0 ✓
סעיף ב – שיעורי הקודקוד A · המשך
t = −5: yA = 7 + 2 · (−5) = −3 < 0 ✓
A = (0 , 7 + 2t , 6 + t)
נציב t = −5 :
A = (0 , 7 + 2 · (−5) , 6 + (−5))
A = (0 , −3 , 1)
✅ פתרון סופי: A(0 , −3 , 1)
סעיף ג – משוואת המישור ABB'A'
המישור מכיל את כיוון AB: (0 , 2 , 1).
הוא מכיל גם את המקצוע BB', שמאונך למישור A'B'C'D' – ולכן כיוון BB' הוא הנורמל של המישור הזה: (1 , 4 , −8).
נחפש נורמל n = (a , b , c) המאונך לשני הכיוונים:
📐 מכפלה סקלרית
(a , b , c) · (0 , 2 , 1) = 0
2b + c = 0
(a , b , c) · (1 , 4 , −8) = 0
📐 מכפלה סקלרית
(a1, a2, a3) · (b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
וקטורים מאונכים ⇐ המכפלה = 0
וקטורים מאונכים ⇐ המכפלה = 0
סעיף ג – משוואת המישור ABB'A' · המשך
(a , b , c) · (1 , 4 , −8) = 0
a + 4b − 8c = 0
מהמשוואה הראשונה: c = −2b . נעבור לשנייה:
a + 4b − 8c = 0
נציב c = −2b :
a + 4b − 8 · (−2b) = 0
סעיף ג – משוואת המישור ABB'A' · המשך
a + 4b − 8 · (−2b) = 0
a + 4b + 16b = 0
⇒ a = −20b
נבחר b = −1 :
a = −20b
c = −2b
סעיף ג – משוואת המישור ABB'A' · המשך
c = −2b
נציב b = −1 :
a = −20 · (−1) = 20
c = −2 · (−1) = 2
n = (20 , −1 , 2)
20x − y + 2z + D = 0
📐 משוואת מישור
📐 משוואת מישור
Ax + By + Cz + D = 0
(A, B, C) – הנורמל
(A, B, C) – הנורמל
סעיף ג – משוואת המישור ABB'A' · המשך
20x − y + 2z + D = 0
📐 משוואת מישור
נציב את הנקודה A(0 , −3 , 1):
20 · 0 − (−3) + 2 · 1 + D = 0
5 + D = 0 ⇒ D = −5
20x − y + 2z − 5 = 0
בדיקה: הנקודה B(0 , 7 , 6): 0 − 7 + 12 − 5 = 0 ✓
📐 משוואת מישור
Ax + By + Cz + D = 0
(A, B, C) – הנורמל
(A, B, C) – הנורמל
סעיף ג – משוואת המישור ABB'A' · המשך
בדיקה: הנקודה B(0 , 7 , 6): 0 − 7 + 12 − 5 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: 20x − y + 2z − 5 = 0
סעיף ד – מציאת k
הכיוון של AB: u = (0 , 2 , 1). הווקטור AM:
AM = M − A
נציב M(k , 1 , 3) , A(0 , −3 , 1) :
AM = (k − 0 , 1 − (−3) , 3 − 1)
AM = (k , 4 , 2)
cos 60 = |u · AM||u| · |AM|
📐 זווית בין ישרים
📐 זווית בין ישרים
cos = |u · v||u| · |v|
סעיף ד – מציאת k · המשך
cos 60 = |u · AM||u| · |AM|
📐 זווית בין ישרים
נציב u = (0 , 2 , 1) , AM = (k , 4 , 2) :
cos 60 = |(0 , 2 , 1) · (k , 4 , 2)|√5 · √k2 + 16 + 4
נציב cos 60 = 12 :
12 = |0 + 8 + 2|√5 · √k2 + 20
12 = 10√5 · √k2 + 20
📐 זווית בין ישרים
cos = |u · v||u| · |v|
סעיף ד – מציאת k · המשך
12 = 10√5 · √k2 + 20
√5 · √k2 + 20 = 20
נעלה בריבוע:
5(k2 + 20) = 400
k2 + 20 = 80
k2 = 60
סעיף ד – מציאת k · המשך
k2 = 60
k חיובי:
k = √60 = 2√15 ≈ 7.75
✅ פתרון סופי: k = √60 = 2√15
סעיף ה – נפח התיבה
הפאה DCC'D' מקבילה לפאה ABB'A', והמרחק ביניהן הוא אורך המקצוע BC. הנקודה M על הפאה DCC'D', ולכן BC שווה למרחק של M מהמישור ABB'A' (סעיף ג):
BC = |20x0 − y0 + 2z0 − 5|√202 + (−1)2 + 22
📐 מרחק נקודה ממישור
נציב M(√60 , 1 , 3) (k = √60 ):
BC = |20√60 − 1 + 2 · 3 − 5|√202 + (−1)2 + 22
BC = 20√60√405
נציב √60 = 2√15 , √405 = 9√5 :
📐 מרחק נקודה ממישור
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|√A2 + B2 + C2
סעיף ה – נפח התיבה · המשך
נציב √60 = 2√15 , √405 = 9√5 :
BC = 20 · 2√159√5 = 40√159√5 = 40√39 ≈ 7.70
V = AB · BC · BB'
📐 נפח תיבה
נציב AB = 5√5 , BC = 40√39 , BB' = 18 :
V = 5√5 · 40√39 · 18
V = 5√5 · 80√3
📐 נפח תיבה
V = אורך · רוחב · גובה
סעיף ה – נפח התיבה · המשך
V = 5√5 · 80√3
V = 400√15 ≈ 1549.19
✅ פתרון סופי: V = 400√15 ≈ 1549.19
📌 סיכום התשובות
סעיף א
BB' = 18
סעיף ב
A(0 , −3 , 1)
סעיף ג
20x − y + 2z − 5 = 0
סעיף ד
k = √60 = 2√15
סעיף ה
400√15 ≈ 1549.19
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא